Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan
benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang
artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian
pengertian itu berkembang menjadi ilmu
pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan
argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk
,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang
dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol
matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa
kita gunakan sehari-hari.
Pengertian Pernyataan dan
Bukan Pernyataan
Sebelum membahas pernyataan,
terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut
aturan bahasa yang mengandung arti.
Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar
atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga
preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang
dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.
Perhatikan beberapa contoh
berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum
pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Frodo mencintai 1
4. Asep adalah bilangan ganjil
Contoh nomor 1 bernilai benar,
sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh
nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.
Sekarang perhatikan contoh di
bawah ini!
1. Rapikan tempat tidurmu!
2. Apakah hari ini akan hujan?
3. Indah benar lukisan ini!
4. Berapa orang yang datang?
Kalimat di atas tidak mempunyai
nilai benar atau salah, sehingga bukan
pernyataan.
Kalimat Terbuka
Perhatikan contoh berikut ini!
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik
rupanya
2. seseorang memakai kacamata
3. 2x + 8y > 0
4. x + 2 = 8
Keempat contoh di atas belum tentu
bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat
terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya
diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan
menjadi sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota
yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang
menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.
Pengganti variabel yang
menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.
Contoh:
x + 2 = 8
x adalah variabel, 2 dan 8 adalah
konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.
Secara skematik, hubungan kalimat,
pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:
Pernyataan Majemuk
Logika merupakan sistem matematika
artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang
didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):
: Merupakan lambang operasi untuk negasi
: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk implikasi
: Merupakan lambang operasi untuk
biimplikasi
1) Negasi (Ingkaran)
Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal
(atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari
pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran
menggunakan operasi uner (monar) “” atau “
”.
Jika suatu pernyataan p benar,
maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p
salah, maka negasinya p benar.
Definisi tersebut dinyatakan dalam
tabel sebagai berikut:
B = benar
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran
dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!
1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)
-p : kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. r : 3 bilangan positif (B)
-r : (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan
positif (S)
2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah
pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan
tunggal dengan kata sambung logika.
Contoh:
disebut konjungsi
disebut disjungsi
disebut Implikasi
disebut biimplikasi
3) Konjungsi ()
Konjungsi dua pernyataan p dan
q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan
jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu
salah.
Table kebenaran
4) Disjungsi/ Alternasi ()
Disjungsi dari dua buah
pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan
komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi
itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)
5) Biimplikasi atau
Bikondisional ()
boleh dibaca:
p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)
jika p maka q, dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan
konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika
tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran
Konvers, Invers, dan
Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk
implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers,
konvers, dan kontraposisi.
Implikasi :
Inversnya : 
Konversnya : 
Kontraposisinya : 
Contoh:
Implikasi : Jika harimau
bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak
bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang
buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika
harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Penarikan
Kesimpulan (Inferensi)
1)
Pengertian Argumen
Perhatikan
beberapa contoh argumen berikut ini!
1.
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga
barang naik
(premis 2)
Jadi
permintaan barang turun
(konklusi)
2. Jika 
,
maka 
(premis
1)
(premis 2)
Jadi
(konklusi)
Dari
contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:
- Argumen adalah
serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan
pernyataan “penarikan kesimpulan”
- Argumen terdiri
dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan
sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).
2)
Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Sekarang
kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus
tollens, dan sillogisma.
1.
Modus ponens
Modus
ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya
sebagai berikut:
(premis 1) berupa
implikasi
(premis 2) berupa
anteseden
——–
(konklusi)
Keabsahan
(sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.
2. Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah
penolakan.
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa negasi dari konsekuen
———-
(konklusi)
3. Silogisme
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa implikasi
———-
(konklusi)
