ELIPS

            Secara geometri, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik dalam bidang yang jumlah jarak dari dua titiknya konstan. Suatu elips punya dua sumbu simetri, yaitu sumbu sumbu utama (sumbu panjang) dan sumbu minor (sumbu pendek). Titik potong sumbu-sumbu tersebut disebut titik pusat elips.

Bentuk umum persamaan elips, adalah :

          ax² + by² + cx +dy + e = 0

dimana a ≠ b, a dan b mempunyai tanda yang sama, tapi tidak sama besar.

Bentuk umum elips ini dapat diubah ke dalam bentuk standar elips menjadi :

                  

Contoh soal :

Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips 4x² + 9y² +16x - 18y - 11 = 0

Penyelesaian :

4x²+9y²+16x-18y-11=0

4x²+16x+9y²-18y-11=0

4(x²+4x)+9(y²-2y)-11=0

4(x²+4x+4)+9(y²-2y+1)=11+16+9

4(x+2)2+9(y-1)2=36

         

Pusat elips (-2,1)

Jari-jari panjang a2 = 9, maka a = √9 = 3

Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2

Unsur-unsur Elips

Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.

 

Dari gambar diatas, titik F₁ dan F₂ dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :

1.     Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB.

2.    Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD.

Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.

Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.

Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :

-       Pusat elips O(0,0) ;

-       Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;

-       Fokus F₁ (-c,0) dan F₂ (c,0) ;

-       Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor = 2a

-       Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor = 2b

-       Eksentrisitas :

-       Direktriks :

Panjang lactus rectum

Persamaan Elips

Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.

A.  Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya.

1.  Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

 

Dengan : - Pusat (0,0)

              - Fokus F₁ (-c,0) dan F₂ (c,0)

2.  Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah

 

    

     Dengan : - Pusat (0,0)

              - Fokus F₁ (0,-c) dan F₂ (0,c)

Catatan :

B.  Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

1.  Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah

 

         Dengan :

-       Pusat (α,β)

-       Titik fokus di F₁ (α-c, β) & F₂(α+c, β)

-       Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)

-       Panjang sumbu mayor=2a

-       Panjang sumbu minor=2b

-       Persamaan direktriks 

2.  Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan :

-       Pusat (α,β)

-       Titik fokus di F₁ (α,β-c) & F₂(α,β+c)

-       Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)

-       Panjang sumbu mayor=2a

-       Panjang sumbu minor=2b

-       Persamaan direktriks